傅里叶变换及其应用
这门课学什么
课程讲傅里叶级数与傅里叶变换、卷积、广义函数与 δ 函数、采样与混叠、DFT 与 FFT、线性系统和高维变换。配 Osgood 编写的完整讲义书。
内容摘要
这门课以傅里叶变换为主线，把数学推导和工程应用放在一起讲。2008 年版共 30 讲，面向工科研究生和高年级本科生。讲师 Brad Osgood 是数学家，讲课风趣，常插入历史故事。他每次推导前都先讲直觉。
第 1 阶段（第 1–5 讲）讲傅里叶级数：周期现象、系数公式、收敛和正交性。热方程是第一个应用。第 2 阶段（第 5–10 讲）从级数过渡到傅里叶变换，讲定义、对偶性、平移和伸缩定理、卷积和滤波。这一阶段还用卷积证明中心极限定理。
第 3 阶段（第 11–16 讲）引入分布（广义函数），让 delta 函数和周期信号也能做傅里叶变换。然后讲衍射和晶体学两个物理应用。第 4 阶段（第 17–22 讲）讲采样定理、混叠、离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）。第 5 阶段（第 23–30 讲）讲线性时不变系统和高维傅里叶变换，最后以医学断层成像收尾。
课程有 9 套习题，部分题目要用 MATLAB 处理声音和图像文件。站上有期中和期末试题，还有 Osgood 写的完整讲义（course reader）。学完后，你能在信号处理、成像和通信问题里使用傅里叶分析，也能看懂采样和滤波背后的数学。
为什么值得学
Osgood 讲课生动幽默。他的讲义是面向工程师的傅里叶分析最佳免费教材之一。
课程信息
- 学校
- 斯坦福（Stanford）
- 课程号
- EE261
- 讲师
- Brad Osgood
- 学期
- 2008 (SEE)
- 平台
- Stanford Engineering Everywhere
- 费用
- 免费
- 难度
- 中级
- 学时
- 30 讲
- 先修
- 需要微积分和基础线性代数。
- 材料
- 视频、讲义、作业、考试、教材
- 许可证
- CC BY-NC-SA 4.0（SEE 站声明）
课程大纲 · 共 30 节
大纲依据：SEE 2008 版讲次列表（30 讲，按每讲 Topics 概括）（查看原始页面 ↗）
- 1导论；傅里叶级数与周期现象Introduction; Fourier Series and Periodicity
介绍课程和 MATLAB 先修要求。讲分析与合成两个视角，以及时间和空间中的周期性。
- 2用正弦函数建模周期信号Modeling Periodic Signals with Sinusoids
讲怎样把信号周期化。用正弦和复指数之和表示一般周期信号。
- 3傅里叶系数与不连续信号Fourier Coefficients and Discontinuous Signals
推导傅里叶系数公式。用不连续信号的例子讨论傅里叶级数的适用范围。
- 4收敛、正交性与内积Convergence, Orthogonality and Inner Products
讲可积性和级数收敛。把复指数看作正交基，引入内积、范数和勾股定理。
- 5热方程；从傅里叶级数到傅里叶变换Heat Equation; From Fourier Series to Fourier Transforms
用傅里叶级数解热方程。开始从周期现象过渡到非周期现象。
- 6傅里叶变换的定义Definition of the Fourier Transform
从傅里叶级数推导出傅里叶变换和逆变换。给出分析与合成两个公式。
- 7高斯函数的变换与对偶性Gaussian Transform and Duality
复习 rect 和 triangle 函数的变换。求高斯函数的傅里叶变换，并讲对偶性及其应用。
- 8平移定理、伸缩定理与卷积Shift and Stretch Theorems; Convolution
推导平移（延迟）定理和伸缩定理。由频域相乘引出卷积公式。
- 9卷积与滤波Convolution and Filtering
用滤波解释卷积，并讲卷积在时域的性质。推导导数定理，并回到热方程。
- 10卷积与中心极限定理Convolution and the Central Limit Theorem
说明独立随机变量之和的分布是卷积。用卷积证明中心极限定理。
- 11走向广义函数Toward Generalized Functions
讨论哪些信号的傅里叶积分不收敛。提出用速降函数作为测试函数的思路。
- 12分布与 delta 函数Distributions and the Delta Function
定义分布（广义函数）。把 delta 看作作用在函数上的运算，而不是极限。
- 13分布的傅里叶变换Fourier Transform of Distributions
定义缓增分布及其傅里叶变换。计算 delta 函数的变换。
- 14分布的导数；delta 与采样Derivatives of Distributions; Delta and Sampling
求单位阶跃和符号函数的导数。讲 delta 与函数相乘和卷积的性质，为采样做准备。
- 15应用：衍射Application: Diffraction
用惠更斯原理和夫琅禾费近似推导衍射图样。说明衍射图样是孔径函数的傅里叶变换。
- 16晶体学、Shah 函数与泊松求和公式Crystallography, the Shah Function and Poisson Summation
讲 X 射线晶体学的背景。求 Shah 函数（梳状函数）的傅里叶变换，并证明泊松求和公式。
- 17带限信号的采样与插值Sampling and Interpolation of Bandlimited Signals
提出插值问题和带限假设。用 Shah 函数周期化频谱，推出精确插值公式。
- 18奈奎斯特率与混叠Nyquist Rate and Aliasing
讲采样率和奈奎斯特率。分析插值公式的实际问题和混叠（aliasing）的成因。
- 19混叠演示与离散傅里叶变换入门Aliasing Demo; Introduction to the DFT
用音乐演示混叠。从采样信号推导离散傅里叶变换（DFT）。
- 20DFT 的定义与性质DFT Definition and Properties
讲采样点数与时间、频率间隔的关系。讲离散复指数向量的正交性。
- 21DFT 矩阵、周期性与对偶性The DFT as a Matrix; Periodicity and Duality
把 DFT 写成 N×N 矩阵。讲输入和输出的周期性，以及由此得到的下标约定和对偶性。
- 22快速傅里叶变换算法The FFT Algorithm
把 N 阶 DFT 拆成两个 N/2 阶问题。按奇偶下标分解，推导 FFT。
- 23线性系统Linear Systems
讲线性系统的定义和例子。讲特征向量、谱定理，以及用积分核表示线性系统。
- 24冲激响应与时不变系统Impulse Response and Time-Invariant Systems
推导冲激响应，介绍 Schwartz 核定理。说明时不变的线性系统由卷积给出。
- 25傅里叶变换与线性时不变系统Fourier Transform and LTI Systems
说明复指数是 LTI 系统的特征函数。讨论离散情形。
- 26高维傅里叶变换Higher-Dimensional Fourier Transforms
用向量记号定义高维傅里叶变换和逆变换。讲二维情形下空域和频域的倒数关系。
- 27高维中的可分离函数与径向函数Separable and Radial Functions in Higher Dimensions
求二维 rect 和二维高斯函数的变换。证明径向函数的变换仍是径向函数，并讲高维卷积。
- 28高维平移定理与伸缩定理Shift and Stretch Theorems in Higher Dimensions
推导高维的平移定理和伸缩定理，讨论缩放和旋转。讲高维 delta 函数。
- 29格点、晶体学与断层成像Lattices, Crystallography and Tomography
讲二维 Shah 函数和斜格点的傅里叶变换。介绍医学断层成像（tomography）。
- 30断层成像与 Radon 变换求逆Tomography and Inverting the Radon Transform
定义沿直线的积分和 Radon 变换。推导 Radon 变换的反演方法。