单变量微积分
这门课学什么
这是大一第一学期的微积分。内容包括导数及应用、近似、积分与微积分基本定理、积分技巧和无穷级数。课程有讲座视频、讲义、作业和考试。
内容摘要
这门课是 MIT 一年级的单变量微积分，主讲人是杰里森（David Jerison）。课程的核心是微积分基本定理：导数描述局部变化，积分描述累积量，两者互为逆运算。课程先讲导数，再讲积分，最后讲积分技巧和级数。
课程按考试分成 5 个单元。第 1 单元讲导数的定义、极限、求导法则、隐函数求导，以及指数和对数函数。第 2 单元讲导数的应用：线性和二次近似、曲线作图、最值、关联变化率、牛顿法和中值定理。第 3 单元讲不定积分、微分方程、定积分和微积分基本定理，以及面积、体积、功和概率这些应用。第 4 单元讲三角积分、三角代换、部分分式和分部积分，再讲参数方程和极坐标。第 5 单元讲洛必达法则、反常积分、无穷级数和 Taylor 级数。
原课程有习题集、4 次单元考试和 1 次期末考试。OCW 提供讲义、习题和考试解答。考试当天没有录像，所以视频编号有跳跃。
学完以后，你能求导和求积分，能用导数解优化问题，能用积分算面积、体积和功，能用 Taylor 级数做近似。这些是多变量微积分、物理和工程课的前提。
杰里森讲课耐心，常先画图再给公式，并解释每一步为什么这样算。大部分单元结束前有一讲复习课，适合自学者检查进度。
为什么值得学
这是网上最完整的免费微积分课之一，有全套课堂录像。很多人自学数学从这里开始。
课程信息
- 学校
- 麻省理工（MIT）
- 课程号
- 18.01
- 讲师
- 大卫·杰里森（David Jerison）
- 学期
- Fall 2006
- 平台
- MIT OpenCourseWare
- 费用
- 免费
- 难度
- 入门
- 学时
- 35 讲
- 先修
- 学过高中代数和三角函数。
- 材料
- 视频、讲义、作业、考试
- 许可证
- CC BY-NC-SA 4.0
课程大纲 · 共 22 节
大纲依据：Fall 2006 OCW 讲座视频列表（35 段，编号 1–39，按主题两两合并为 22 条）（查看原始页面 ↗）
- 1变化率Rate of Change
用切线斜率定义导数，并从定义出发计算简单函数的导数。
- 2–3极限；求导法则Limits; Derivatives
讲极限与连续，再推导三角函数的导数，以及乘积和商的求导法则。
- 4–5链式法则；隐函数求导Chain Rule; Implicit Differentiation
讲链式法则和高阶导数，再用隐函数求导求反函数的导数。
- 6指数与对数Exponential and Log
定义自然常数 e，推导指数函数和对数函数的导数，介绍对数求导法。
- 7第 1 次考试复习Exam 1 Review
用例题复习第 1 单元的求导方法。
- 9–10线性与二次近似；曲线作图Linear and Quadratic Approximations; Curve Sketching
用导数做函数的局部近似，再用一阶和二阶导数画出函数图像。
- 11–12最值问题；关联变化率Max-min; Related Rates
用导数解最优化问题，并求互相依赖的量的变化率。
- 13–14牛顿法；中值定理Newton's Method; Mean Value Theorem
用切线迭代求方程的根，再讲中值定理和它的推论。
- 15–16不定积分；微分方程Antiderivatives; Differential Equations
讲不定积分和换元法，再用分离变量法解简单的微分方程。
- 18定积分Definite Integrals
用黎曼和定义定积分，把它解释为曲线下的面积。
- 19–20微积分第一基本定理；第二基本定理First Fundamental Theorem; Second Fundamental Theorem
说明定积分可以用原函数计算，以及变上限积分的导数等于被积函数。
- 21在对数上的应用Applications to Logarithms
用积分定义自然对数，并计算曲线之间的面积。
- 22–23体积；功与概率Volumes; Work, Probability
用切片法和柱壳法求旋转体体积，再用积分计算平均值、功和概率。
- 24数值积分Numerical Integration
讲梯形法则和 Simpson 法则，比较它们的误差。
- 25第 3 次考试复习Exam 3 Review
用例题复习定积分、基本定理和积分的应用。
- 27–28三角积分；三角代换Trig Integrals; Inverse Substitution
讲三角函数乘幂的积分，再用三角代换处理含根式的积分。
- 29–30部分分式；分部积分Partial Fractions; Integration by Parts
把有理函数拆成部分分式再积分，并讲分部积分和递推公式。
- 31–32参数方程；极坐标Parametric Equations; Polar Coordinates
用参数方程和极坐标描述曲线，计算弧长、旋转面面积和极坐标下的面积。
- 33第 4 次考试复习Exam 4 Review
用例题复习积分技巧、参数方程和极坐标。
- 35–36不定式；反常积分Indeterminate Forms; Improper Integrals
用洛必达法则求不定式的极限，并判断反常积分是否收敛。
- 37–38无穷级数；Taylor 级数Infinite Series; Taylor's Series
讲判断级数收敛的方法，再讲幂级数和 Taylor 展开。
- 39期末复习Final Review
回顾全课内容，并用例题复习。