线性代数
这门课学什么
这是线性代数核心课。内容包括线性方程组、向量空间和四个基本子空间、正交与最小二乘、行列式、特征值、对称正定矩阵和 SVD。课程有讲座视频、作业和考试及答案。
内容摘要
这门课是斯特朗（Gilbert Strang）讲的 MIT 线性代数。主线从解方程组 Ax = b 出发，依次引出向量空间、正交、行列式、特征值和奇异值分解（SVD）。斯特朗把矩阵乘向量看成列的线性组合。他先给几何图像，再给计算方法。
课程按 3 次测验分成 3 个阶段。第 1 阶段（第 1–13 讲）讲消元、LU 分解和逆矩阵，再讲列空间、零空间和四个基本子空间。第 2 阶段（第 14–24 讲）讲正交、投影、最小二乘、Gram-Schmidt 正交化、行列式和特征值，并用特征值解微分方程和分析 Markov 矩阵。第 3 阶段（第 25–34 讲）讲对称矩阵、正定矩阵、相似矩阵、SVD、线性变换、基变换和伪逆。
作业是 10 份习题集，部分题目要用 MATLAB 计算。课程另有 3 次一小时测验和 1 次期末考试。教材是斯特朗本人写的 Introduction to Linear Algebra，每讲都对应书中的章节。
学完以后，你能判断一个方程组有没有解、有多少解。你能用投影做最小二乘拟合，能做特征值分解和 SVD。这些方法是机器学习、信号处理和数值计算的基础。
斯特朗讲课节奏慢，在黑板上现场推导，常停下来问“为什么”。他反复回到四个基本子空间这张图，把各讲内容连起来。这种讲法适合第一次学的人，也适合会算但没懂几何意义的人。
为什么值得学
Strang 的讲法改变了全球线性代数的教法，先讲几何直觉再讲形式。很多工程师靠这套视频学会线性代数。
课程信息
- 学校
- 麻省理工（MIT）
- 课程号
- 18.06
- 讲师
- 吉尔伯特·斯特朗（Gilbert Strang）
- 学期
- Spring 2010
- 平台
- MIT OpenCourseWare
- 费用
- 免费
- 难度
- 入门
- 学时
- 36 段视频
- 先修
- 学过微积分。
- 材料
- 视频、作业、考试、教材
- 许可证
- CC BY-NC-SA 4.0
课程大纲 · 共 35 节
大纲依据：Spring 2010 OCW 讲座视频列表（34 讲 + 第 2 次测验复习 1 段，共 35 段）（查看原始页面 ↗）
- 1线性方程组的几何意义The geometry of linear equations
从行图像和列图像两个角度看方程组，把 Ax = b 理解为列向量的线性组合。
- 2用矩阵做消元Elimination with matrices
用消元把方程组化成上三角形式，并把每一步消元写成一个初等矩阵。
- 3矩阵乘法与逆矩阵Multiplication and inverse matrices
介绍矩阵乘法的 4 种看法，再用 Gauss-Jordan 消元求逆矩阵。
- 4分解为 A = LUFactorization into A = LU
把消元过程记录成 A = LU，并估算消元需要的运算次数。
- 5转置、置换矩阵与空间 R^nTransposes, permutations, spaces R^n
介绍转置和置换矩阵，再给出向量空间和子空间的定义。
- 6列空间与零空间Column space and nullspace
定义列空间和零空间，说明 Ax = b 在什么条件下有解。
- 7求解 Ax = 0：主元变量与特解Solving Ax = 0: pivot variables, special solutions
区分主元变量和自由变量，用特解写出整个零空间。
- 8求解 Ax = b：行最简形 RSolving Ax = b: row reduced form R
用行最简形写出完整解，并按秩分 4 种情况讨论解的个数。
- 9线性无关、基与维数Independence, basis, and dimension
定义线性无关、张成、基和维数，并说明维数和秩的关系。
- 10四个基本子空间The four fundamental subspaces
介绍列空间、零空间、行空间和左零空间，给出 4 个空间的维数。
- 11矩阵空间、秩 1 矩阵与小世界图Matrix spaces; rank 1; small world graphs
把矩阵本身看成向量空间中的元素，讨论秩 1 矩阵，并用小世界图引出图和矩阵的联系。
- 12图、网络与关联矩阵Graphs, networks, incidence matrices
用关联矩阵描述电路网络，用四个子空间解释基尔霍夫定律。
- 13第 1 次测验复习Quiz 1 review
通过例题复习前 12 讲的消元、子空间和秩。
- 14正交向量与正交子空间Orthogonal vectors and subspaces
定义正交子空间，说明行空间和零空间互相正交。
- 15向子空间投影Projections onto subspaces
推导向直线和子空间投影的公式，写出投影矩阵。
- 16投影矩阵与最小二乘Projection matrices and least squares
用投影求无解方程组的最佳近似解，并用直线拟合数据点。
- 17正交矩阵与 Gram-Schmidt 正交化Orthogonal matrices and Gram-Schmidt
介绍标准正交基和正交矩阵，用 Gram-Schmidt 方法得到 A = QR。
- 18行列式的性质Properties of determinants
从 3 条定义性质出发，推出行列式的其他性质。
- 19行列式公式与代数余子式Determinant formulas and cofactors
推导行列式的展开公式和代数余子式展开，并计算三对角矩阵的行列式。
- 20Cramer 法则、逆矩阵与体积Cramer's rule, inverse matrix, and volume
用代数余子式写出逆矩阵公式和 Cramer 法则，并把行列式解释为体积。
- 21特征值与特征向量Eigenvalues and eigenvectors
定义特征值和特征向量，用 det(A − λI) = 0 求特征值。
- 22对角化与矩阵的幂Diagonalization and powers of A
用特征向量把矩阵对角化，用来计算 A 的高次幂和斐波那契数列。
- 23微分方程与矩阵指数 exp(At)Differential equations and exp(At)
用特征值解一阶线性微分方程组，并判断解是否稳定。
- 24Markov 矩阵与 Fourier 级数Markov matrices; fourier series
讨论 Markov 矩阵的稳态，再用正交基的观点看 Fourier 级数。
- 24b第 2 次测验复习Quiz 2 review
通过例题复习正交、投影、行列式和特征值。
- 25对称矩阵与正定性Symmetric matrices and positive definiteness
说明实对称矩阵的特征值是实数、特征向量可以取成正交的，再引出正定矩阵。
- 26复矩阵与快速 Fourier 变换Complex matrices; fast fourier transform
把内积推广到复向量，介绍 Fourier 矩阵和 FFT 的分解思路。
- 27正定矩阵与极小值Positive definite matrices and minima
给出判定正定的 4 种方法，并联系多元函数的极小值。
- 28相似矩阵与 Jordan 标准形Similar matrices and Jordan form
定义相似矩阵，说明相似矩阵有相同的特征值，并介绍不能对角化时的 Jordan 形。
- 29奇异值分解Singular value decomposition
推导 A = UΣVᵀ，说明 SVD 怎样为四个基本子空间各找一组标准正交基。
- 30线性变换及其矩阵Linear transformations and their matrices
先不用坐标定义线性变换，再说明选定基以后怎样写出它的矩阵。
- 31基变换与图像压缩Change of basis; image compression
讨论换基对矩阵的影响，用图像压缩说明选好基的价值。
- 32第 3 次测验复习Quiz 3 review
通过例题复习对称矩阵、正定矩阵、相似矩阵和 SVD。
- 33左逆、右逆与伪逆Left and right inverses; pseudoinverse
为非方阵和不满秩矩阵定义左逆、右逆和伪逆。
- 34期末总复习Final course review
用综合例题把全课的核心概念串起来复习。