本課講一本 2017 年出版的數學書。作者是 Shen、Uspensky、Vereshchagin 三位數學家，他們來自 Kolmogorov 在莫斯科的學派。書裡講：一串東西有多少信息，就看寫出它的最短說明書有多長。
有一個死板的機器人，只認兩種寫法：① 直接寫 0 和 1，它照著抄；② （一段）×幾，它把括號裡的抄幾遍。比如 (01)×3 就是 010101。數長度時，每個符號算 1 個字，括號和 × 也算。(01)×3 一共 6 個字。
請給下面每串寫一份說明書，越短越好。每串原來都是 16 個字。
前 3 串很好辦，比如第 1 串寫成 (0)×16，只要 6 個字。最後一串是擲硬幣得來的（示意）。把開頭寫成 (1)×4，反而多了 1 個字！它好像只能整串照抄。這就是今天的主題。
電腦程序就是寫給電腦的一步一步的命令，這一課叫它「給機器人的說明書」。機器人照著做，必須一字不差地寫出原來那串。同一串東西，可以有很多份說明書。最短的那份有多長，就叫這串東西的 Kolmogorov 複雜度，中文簡稱柯氏複雜度。它量的是：這串東西里到底裝了多少信息。
| 一串東西（都是 1000 個字） | 一份短說明書 | 說明書幾個字 |
|---|---|---|
| 「01」重複 500 次 | (01)×500 | 8 |
| 擲 1000 次硬幣，記下 0 和 1 | 找不到規律，每一位都是新消息，只能照抄 | 差不多 1000 |
和前面幾課連起來：第 4、5、6、7、23 課都在講壓縮。這一課是「壓縮」路線的終點：最短到底能有多短？這個想法在 1960 年代提出，Kolmogorov、Solomonoff 和 Chaitin 各自想到了它。這本書大約 500 頁，作者之一 Uspensky 是 Kolmogorov 的學生。
第 5 課講過：擲硬幣的結果沒有規律，壓縮不了。這本書把這句話變成了「隨機」的定義：
如果一串東西沒有比它自己短多少的說明書，它就是隨機的。
這個定義只看串本身，不管它怎麼來的。寫不短的串多不多？電腦程序本來就是一串 0 和 1，我們假設說明書也只用 0 和 1 寫，數一數。
一份說明書只能寫出一串。8 個串只有 7 份更短的說明書，所以至少有 1 串寫不短。串越長，差距越大：1000 位長的串裡，能縮短 10 個字以上的不到千分之一。所以大多數串都是隨機的。
換一種電腦語言寫說明書，長度會變嗎？會變，可是變不了多少。
機器人乙不認得「×」。沒關係，在說明書前面附一本翻譯手冊，教它「×幾就是抄幾遍」，後面照樣寫 (01)×500。關鍵是：手冊長度固定，不管寫哪一串，附的都是同一本。所以給乙的最短說明書，最多比給甲的長一本手冊。數學家把這叫不變性定理：換一種電腦語言，柯氏複雜度最多差一個固定的數。這個數只看兩種語言，和要寫的串無關。
小心：手冊可能比短串本身還長，所以只比很短的串沒有意義。比長串時，手冊那點長度才可以不管。
想像一場「最短說明書比賽」：第 1 天，小明寫了 30 個字。第 2 天，小紅找到規律，寫了 20 個字。第 3 天，小剛找到更深的規律，寫了 12 個字。第 4 天呢？
裁判能說「12 個字比 20 個字短」，卻沒法宣佈冠軍：也許明天有人找到更短的。書裡證明了：沒有任何一個程序，能對所有的串都算出最短說明書有多長。數學家說柯氏複雜度不可計算。我們只能越找越短，卻不能確定哪份最短。
為什麼不把短說明書一份份試過去？有的說明書會讓機器人一直算，你不知道它是快算完了，還是永遠不停。還有一個更深的原因。讀一讀這句話：「用二十個字說不出來的最小的數」（數指 1、2、3 這樣的數）。它只有 14 個字，卻說出了一個「二十個字說不出來」的數，自己跟自己打架！這叫貝里悖論。「悖論」就是怎麼想都說不通的話。
假如有一臺測量機，給它任何一串，它都能說出最短說明書有多長。那我就能寫一份說明書：
「用測量機按順序一串一串地查，找出第一串最短說明書超過一億字的，把它寫出來。」
第 3 節講過，這樣的串一定有。測量機也寫進去，整份說明書也遠遠不到一億字。可它寫出了那一串，那一串的最短說明書就不到一億字了。說不通！所以測量機不可能存在。
算不出最短，怎麼辦？第 6、7 課的科學家用了壓縮軟件，就是電腦裡把文件變小、還能一字不差還原的工具。小文件加上「解壓程序」，就是一份說明書。真正的最短只會更短或一樣長，所以壓縮後的大小可以粗略估計信息有多少。
壓縮軟件也會看走眼。圓周率 3.14159…… 的前 100 萬位，壓縮軟件幾乎壓不動。可是一個很短的程序就能把它們一位一位算出來。所以「壓不動」不等於「真的隨機」。
第 5 課講過：朋友猜得越準，你傳話用的字越少。會預測，就會壓縮。柯氏複雜度就是壓縮能達到的「最好成績」。
ChatGPT、Claude 這些聊天 AI 靠的是大語言模型，它們靠「猜下一個字」練出來（第 1 課）。2023 年，DeepMind 公司的論文發現：大語言模型配上一種編碼方法，就能當壓縮軟件。這些模型只讀過文字，可它們壓縮圖片小塊和聲音，比 PNG（常用的圖片格式）和 FLAC（常用的聲音格式）還壓得小。第 3、8 課的作者之一 Sutskever 多次說過：好的預測器就是好的壓縮器。這本書就在他推薦的閱讀清單裡。
也要說清楚：柯氏複雜度算不出來，沒人直接拿它訓練 AI。模型壓出的長度也只是「目前找到的一份說明書」。
1. 用熱身的機器人規則，各自給每串寫說明書。括號裡可以再套括號。「×幾」後面不要緊跟 0 或 1，不然看不清。也可以用珠子擺：紅是 0，藍是 1。
2. 同伴照著說明書寫回原串，一字不差才打 ✓。誰最短，誰贏這一串。最後一行填自己擲 20 次硬幣的結果：正面 1，反面 0。
| 串（每串 20 個字） | 我的說明書 | 幾個字 | ✓ |
|---|---|---|---|
| 00000000000000000000 | |||
| 00110011001100110011 | |||
| 01101101100110110110 | |||
| 01000010110010000010 | |||
| 我擲的硬幣： |
你會發現：前 3 串能寫得很短。第 3 串要套括號：「0，再加 3 遍 110」這一段重複 2 次。第 4 串和你擲的那串，怎麼寫都短不了幾個字。就算你贏了，也不能保證沒人寫得更短。
A 真擲 20 次硬幣，正面寫 1，反面寫 0。B 不碰硬幣，憑腦子編 20 個 0 和 1，儘量像真擲的。兩人把串抄到紙條上，不寫名字，交給 C。C 用 3 把尺子檢查，猜哪張是真擲的。揭曉後換人再玩。
| 尺子 1：最多連著幾個一樣 | 尺子 2：0、1 換了幾次 | 尺子 3：能寫短嗎 | 猜真的 | |
|---|---|---|---|---|
| 紙條甲 | ||||
| 紙條乙 |
你會發現：真擲 20 次硬幣，大約 4 次裡有 3 次會出現連著 4 個或更多一樣的。0 和 1 平均換 9 到 10 次。人編的串常常換得太勤，很少連著 4 個一樣。「幾乎不連著一樣」也是一條規律：想裝隨機，反而露出了規律。
給家長和老師：本課講的是 A. Shen、V. A. Uspensky、N. Vereshchagin 的書 Kolmogorov Complexity and Algorithmic Randomness（AMS Mathematical Surveys and Monographs 第 220 卷，2017）。講義只涉及前幾章：C(x) 的定義、不變性定理、大多數串不可壓縮、C(x) 不可計算（貝里悖論式證明）和「不可壓縮即隨機」的直覺；無限序列的 Martin-Löf 隨機與前綴複雜度未展開。
「機器人語言」是為孩子設計的簡化描述方式，不是通用編程語言；書中程序是固定通用機器上的二進制串。各串、比賽、翻譯手冊和測量機的說法都是示意。「擲 20 次約 77% 出現 ≥4 的連串、平均換 9.5 次」是我們按公平硬幣算的；「人編的串換得太勤」是常見課堂現象，非書中內容。DeepMind 論文為 Language Modeling Is Compression（2023）。想深入可看本站的 第 26 天中文導讀，代碼見開源項目 30u30 第 26 天目錄（英文）。
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